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## Título: Inferência Estatística - Origem distribuição F (Snedecor)
## Curso : Introdução à estatística
## Autor : José Cláudio Faria/UESC/DCET
## Data  : 27/07/2016 19:13:38
## Versão: v9
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## Objetivos gerais
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## a) Apresentar os recursos básicos do R para a IE;
## b) Fundamentar o estudante nos mecanismos básicos da IE.
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## Objetivos específicos
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## a) Amostrar repetidamente pares de amostras (tamanhos definidos pelo usuário)
##    de uma população normal qualquer: Y ~ N(Mu, Sigma);
## b) Estimar a variância a partir de cada amostra e calcular a razão entre as
##    duas estimativas;
## c) Plotar o histograma dos valores, que deve ser semelhante a função F
##    (para os tamanhos de amostras defindos pelo usuário) se o número de
##    repetições do processo for suficiente para se aproximar do limite;
## d) Sobrepor ao histograma a função densidade de probabilidade específica.
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#.. ___Ini opções___
## Tamanho das amostras
nN <-  4 # Tamanho da amostra (n) do Numerador (N)
nD <- 21  # Tamanho da amostra (n) do Denominador (D)

## Características da população
Mu    <- 100
Sigma <-   2

## Normal padrão
#Mu    <- 0
#Sigma <- 1

## Número de pares de amostras
n <- 1e4  # Usar 1e3, 1e4, 1e5

## Erro adotado na inferência
erro <- 5/100
#.. ___Fim opções___

## Simulação
## Estimativas da variância do numerador
s2N <- apply(matrix(rnorm(n*nN,
                          Mu,
                          Sigma),
                    ncol=nN),
             1,
             var)

## Estimativas da variância do denominador
s2D <- apply(matrix(rnorm(n*nD,
                          Mu,
                          Sigma),
                    ncol=nD),
             1,
             var)

## Observando a distribuição da razão das estimativas da variância: observacional
require(fdth)

plot(fdt(s2N/s2D,
         start=0,
         end=10,
         h=.05),
     ty='d',
     xlim=c(0, 10),
     ylim=c(0, 1.2))

## Sobrepondo a curva de densidade de probabilidades: teórica
curve(df(x,
         nN-1,
         nD-1),
      n=1e4,
      col='darkblue',
      add=TRUE,
      lwd=3)

# F limite
Flim <- qf(erro,
           nN-1,
           nD-1,
           lower=FALSE)

# Texto Fcal
text(x=Flim,
     y=.6,
     col='darkblue',
     pos=4,
     label=paste('F(',
                 nN-1,
                 ';',
                 nD-1,
                 ')',
                 sep=''))

# Linha decisão
segments(x0=Flim,
         y0=0,
         x1=Flim,
         y1=1,
         col='red',
         lty=3)

# Texto das hipóteses
text(x=c(Flim,
         Flim),
     y=.8,
     col=c('darkgreen',
           'red'),
     labels=c('RAH0',
              'RRH0'),
     pos=c(2, 4))

# Texto do erro
text(x=Flim,
     y=.3,
     col='red',
     pos=4,
     labels=paste('Erro tipo I (alfa) = ',
                       100*erro,
                       '%',
                       sep=''))

# Valor do erro
text(x=Flim,
     y=1,
     pos=3,
     col='red',
     label=paste('Flim = ',
                 round(Flim, 2),
                 sep=''))

# Achuras sob a curva
xa1 <- seq(0,
           Flim,
           len=1e3)

ya1 <- df(xa1,
          df1=nN-1,
          df2=nD-1)

# Para evitar Inf no caso da amostra do numerador ser de tamanho 2
ya1 <- sub(Inf,
           1e2,
           ya1)

polygon(x=c(0,
            xa1,
            Flim),
        y=c(0,
            ya1,
            0),
        col=adjustcolor('darkgreen',
                        alpha.f=.2),
        border='darkgreen')

xa2 <- seq(Flim,
           20,
           len=1e3)

ya2 <- df(xa2,
          df1=nN-1,
          df2=nD-1)

polygon(x=c(Flim,
            xa2),
        y=c(0,
            ya2),
        col=adjustcolor('red',
                        alpha.f=.2),
        border='red')

# Em poucas palavras:
# A distribuição F (de Snedecor) descreve como se distribui a razão
# entre duas estimativas da variância
# de uma distribuição normal X~N(Mu, Sigma) qualquer.